Osnova témat

  • Úvod


    Cílem kurzu je pomoci studentům s přípravou na přijímací zkoušky z matematiky.

    Anotace:

    Kurz má za cíl pomoci studentům zopakovat si oblasti matematiky, které se mohou objevit v přijímacích zkouškám z matematiky na fakultu Mechatroniky. Zahrnuje Teoretický výklad témat a následné řešené příklady pro názorné vysvětlení problematiky.

    Návaznost: 

    Kurz není podmíněn absolvováním jiných kurzů či předmětů

    Požadavky:     
    U kurzu nejsou požadovány žádné speciální předpoklady. Očekává se pouze znalost základních matematických pojmů ze základní a střední školy.

     

    Realizováno za finanční podpory ESF a státního rozpočtu ČR v rámci v projektu "Rozvoj lidských zdrojů TUL pro zvyšování relevance, kvality a přístupu ke vzdělání v podmínkách Průmyslu 4.0" CZ.02.2.69/0.0/0.0/16_015/0002329 – ESF OP VVV.

  • Obsah

    1. Definiční obor funkce

    2. Absolutní hodnota

    3. Komplexní čísla

    4. Kombinatorika a pravděpodobnost

  • Definiční obor funkce

    Úvod:

    Jednou ze základních matematických dovedností je správně identifikovat a popsat danou funkci. Prvním krokem při popisu funkce, tj. ještě dříve, než nás vůbec začne zajímat jak přesně funkce vypadá, je nalezení jejího Definičního oboru. Důvodem je, že zjistíme-li, kde je funkce definována, nemusíme se zabývat zbytečným hledáním funkčních hodnot pro čísla, které ani vůbec nenáleží do definičního oboru funkce.

    Příklad: Představte si, že dostanete za úkol vykreslit graf funkce:
    příklad rovnice.
    Bohužel klasický způsob dosazování malých čísel v tomto případě zoufale selže. Funkce totiž není definována na intervalu (-10 ; 10).

    Následující materiály by Vám měly pomoct s pochopením pravidel a postupů při identifikaci Definičního oboru funkce.

    .

    Obsah materiálů:

    Definice

    Definiční obor jednoduchých funkcí

    Definiční obor lomené funkce

    Definiční obor funkce tangens / cotangens

    Definiční obor funkce logaritmus

    Definiční obor funkce odmocnina

  • Absolutní hodnota

    Úvod:

    Pakliže jste o funkci absolutní hodnota již něco slyšeli, víte, že se jedná o velice zajímavou a v mnoha případech velice užitečnou funkci, která produkuje nezáporná čísla bez ohledu na to, zda do ní dosadíte čísla kladná nebo záporná. Jednou ze zajímavostí je, že absolutní hodnota je jedna z mála matematických funkcí jejíž grafy obsahují ostré zlomy, špičky a hroty.  

    (Pokud je toto Vaše první setkání s absolutní hodnotou, rozhodně se nelekejte a dovolte mi abych Vás prostřednictvím následujících materiálů s absolutní hodnotou seznámil).

    Pokud ale funkci zkomplikujeme, popřípadě ji najdeme v nerovnici, věci začnou být ještě zajímavější.

    .

    Obsah materiálů:

    Definice

    Rovnice s absolutní hodnotou

    Nerovnice s absolutní hodnotou

  • Komplexní čísla

    Úvod:

    Historicky se pracovalo nejprve s množinou přirozených celých čísel, kterých šlo využít při popisu okolí.

    Příklad: „Vidím 2 šavlozubé tygry, 3 své bratry, ale pouze 1 strom, na který se vejdou jen 2 lidé.“

    Podobné úvahy vedly celkem rychle také k operacím s čísly, které nezahrnovaly pouze sčítání, ale i odčítání. To vedlo k obohacení dosavadní množiny čísel o čísla záporná.

    Příklad: „Měl jsem 3 bratry, ale 2 mi sežrali tygři:  3 – 2 = 1 ... zbyl mi tedy jen 1.“

    Stejným způsobem se rozšiřovali naše číselné obzory od čísel celých, přes přirozená, racionální a iracionální až po reálná. Ani tato množina čísel ale neodpovídá na otázku, jaké jsou kořeny jednoduché kvadratické rovnice x2 + 1 = 0. Proto se ukázalo, že je potřeba zavést novou množinu čísel obsahující všechny předchozí, ale ještě něco navíc. Této množině říkáme Komplexní čísla.

    .

    Obsah materiálů

    Definice

    Tvary komplexního čísla

    Rovnice s komplexními čísly

  • Kombinatorika a Pravděpodobnost

    Úvod:

    V dnešním digitálním věku se v mnoha oblastech lidského konání mluví o zabezpečení našich osobních informací. Uvedeme si tedy příklad ze života.

    Představme si systém, ve kterém je možné zadat maximálně desetimístná hesla za použití písmen a čísel bez dalších znaků. Mohlo by nás zajímat, kolik takových hesel existuje. Odpovědí je, že takovýchto hesel existuje přesně 39 503 678 872 633 023 420 521 946 711 466 143 994 775 346 134 750 732 502 780 781 099 164 095 188 067 917 234 176, tedy přibližně 3,95 . 1085. Pokud by chtěl někdo toto heslo „zlomit“ metodou hrubé síly (tzn. vyzkoušet postupně všechna hesla) a měl by k dispozici počítač, schopný zadat 10 milionů hesel za sekundu stejně by mu to trvalo víc než 1071 let. Z tohoto velice jednoduchého příkladu vidíme, že pravděpodobnost, že heslem zabezpečený systém selže, je vcelku malá. Pravděpodobnost se ale rázem zvýší, pokud své heslo sdělíte někomu cizímu… proto to nedělejte!

    Na tyto a podobné otázky odpovídá okruh matematiky, kterému se říká kombinatorika a pravděpodobnost.

    .

    Obsah materiálů Kombinatorika

    Permutace bez opakování

    Permutace s opakováním

    Variace bez opakování

    Variace s opakováním

    Kombinace bez opakování

    Kombinace s opakováním

    .

    Obsah materiálů Pravděpodobnost

    Definice

    Disjunktní jevy

    Nezávislé jevy

    Pravděpodobnost sjednocení náhodných jevů

    Podmíněná pravděpodobnost